STEM+I 생각교실 운영 사업 교육 프로그램 2020 아름다운 기하로 이루어진 세상 인천대학교 과학영재교육원 2020년 STEM 생각교실 운영 사업 교육 프로그램 프로그램 개요 기관명 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 아름다운 기하로 이루어진 세상 이름 주요 과목 수학2 관련 단원 삼각형과 사각형의 성질 관련 과목 수학2 관련 단원 도형의 닮음 STEM 요소 S, T, M 지역 보조 주 개발자 주요 수업 개요 차시별 개발자 기하 개념은 수학의 다른 영역과 실세계 상황의 문제를 표현하고 해석하는데 유용하다. 학생들은 구체적인 모델, 그림, 우리 주변에서 볼 수 있는 특별한 건물에 사용된 수학적 원리를 찾는 활동에 능동적으로 참여할 수 있다. 평면이나 공간에서 기하에 관한 기본적인 성질의 이해는 자연, 예술, 건축, 그래픽, 공간 탐험, 지도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 기초가 되며, 도형의 성질에 대한 증명은 고대 그리스 이래로 연역적 추론의 전형으로 인식되어 왔다. 기하 문제는 해결 방법이 다양하기 때문에 문제 해결 능력과 수학적 창의성을 신장시킬 수 있는 좋은 소개이다. 1차시 주의 집중을 위한 도입 2차시 수업의 목표 설정 3차시 기초 학습 4차시 심화 학습 주요내용 (키워드 위주) 12. 아름다운 기하로 이루어진 세상 교재명 아름다운 기하로 이루어진 세상 관련 교과 중학교 2학년 2학기 (도형의 성질) (단원) 중학교 2학년 2학기 (도형의 닮음) 우리가 실생활에서 직면하는 기하 영역과 관계된 문제들은 이론 시간에 공부한 내용들과는 많은 차이가 있다. 따라서 단순히 공식 을 외우고 빨리 계산하는 능력만으로는 문제를 해결할 수 없다. 이러한 문제 해결 능력을 키우기 위해서는 수학적인 지식은 물론 교육 목적 기하 영역을 단순히 이론으로서 뿐만 아니라 실생활에서도 자주 접하는 습관을 가져야 한다. 이에 따라서 본 교재에서는 자연 현 상이나 실생활의 상황을 통해 평면과 공간 및 기하의 개념을 이 해하고 탐구하며, 이를 활용하여 다양한 문제를 해결하는데 도움 을 주고자 한다. 기하 개념은 수학의 다른 영역과 실세계 상황의 문제를 표현하고 해석하는데 유용하다. 학생들은 구체적인 모델, 그림, 우리 주변 에서 볼 수 있는 특별한 건물에 사용된 수학적 원리를 찾는 활동 에 능동적으로 참여할 수 있다. 평면이나 공간에서 기하에 관한 교육 목표 기본적인 성질의 이해는 자연, 예술, 건축, 그래픽, 공간 탐험, 지 도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 기초가 되며, 도형 의 성질에 대한 증명은 고대 그리스 이래로 연역적 추론의 전형 으로 인식되어 왔다. 기하 문제는 해결 방법이 다양하기 때문에 문제 해결 능력과 수학적 창의성을 신장시킬 수 있는 좋은 소개 교수학습 방법 이다. o 강의 o 반복 연습 및 암송 o 직접 교수 o 책략기반 교육 o 내용영역에서 도움을 받는 교수 o 그래픽 조직체 (Graphic Organizer) o 코칭 o 개념 달성 o 시네틱스 (Synectics) o 실연/모델링 o 소크라테스식 질문 - 1 - o o o o o o o o o o 시각화 역할 놀이 협동학습 모의 재판 시뮬레이션 탐구기반 학습 문제해결 및 문제기반 학습 그림자 경험 (shadowing experience) 사사제 (Mentorship) 독립 연구 ※ 이 교재의 내용에 대한 무단 복제 및 전재를 금하며, 인천대학교 과학영재교육원의 허락 없이는 어떠한 방식으로든 2차적 저작물을 출판하거나 유 포할 수 없습니다. ※ 이 교재는 2020년도 정부(과학기술정보통신부/과학기술진흥기금/복권기금)의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 작성된 성과물입니다. 인천대학교 과학영재교육원 Incheon Science Elite Program Tel: 032-835-4971~3, Fax: 032-835-4976 [심화] - 학생용 교재 - 아름다운 기하로 이루어진 세상 교재개발자 : 성균관대학교 수학과 박기섭교수 개발년도 : 교육 대상 : 중등 공통과정 온라인교재 수업 시간 : ( 총 4 시간 ) 2021 학년도 < 교재 요약 > 일반적으로 중등 과정에서 다루는 수학의 내용 중에서 학생들이 어렵게 생각하는 부분 중의 하나로 기하(도형) 영역과 관계된 문제를 들 수 있다. 이러한 문제들은 수학적인 이론으로도 중 요하지만 우리 실생활에도 중요한 문제이다. 본 교재에서는 자연 현상이나 실생활의 상황을 통 해 평면과 공간 및 기하의 개념을 이해하고 탐구하며, 이를 활용하여 다양한 문제를 해결하는 데 도움을 주고자 한다. ▢ 관련 분야 및 내용 교과 분야 내용 STEM요소 수학 도형, 닮음 M 기술 설계 T 과학 모형화 S * STEM: Science, Technology, Engineering, Mathmatics 약자 1. 주 의 집 중 을 위 한 도 입 본 교재는 평면이나 공간에서 기하에 관한 기본적인 성질의 이해는 자연, 예술, 건축, 그래픽, 공간 탐험, 지도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 기초가 되며, 도형의 성질에 대한 증명은 고대 그리스 이래로 연역적 추론의 전형으로 인식되어 왔다. 기하 문제는 해결 방법이 다양하기 때문에 문제 해결 능력과 수학적 창의성을 신장시킬 수 있는 좋은 소개이다. 쪽매맞춤은 어떤 평면을 일정한 형태로 덮는 작업이다. 그런데 그와 반대로 주어진 평면을 똑 같은 모양과 크기로 나누는 것도 있다. 이것을 영어로 ‘Reptile’이라고 하는데, reptile은 ‘도마뱀 또는 파충류’를 말한다. 사실 이 단어는 반복 또는 복사라는 뜻의 ‘replication’과 타일의 ‘tile’이 합쳐져 ‘rep-tile’이 된 것이다. 물에 사는 어떤 생물은 그 두께가 거의 없는 다각형 형태를 하고 있는데, 그 가장자리에 있는 - 2 - ※ 이 교재의 내용에 대한 무단 복제 및 전재를 금하며, 인천대학교 과학영재교육원의 허락 없이는 어떠한 방식으로든 2차적 저작물을 출판하거나 유 포할 수 없습니다. ※ 이 교재는 2020년도 정부(과학기술정보통신부/과학기술진흥기금/복권기금)의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 작성된 성과물입니다. <닮음> [답변의 예시] 2. 생활 속의 닮음 닮음은 우리 생활과 예술 속에서 매우 많이 사용되는 것이다. 내가 알고 있는 닮음의 경우를 찾아서 적어보자. [답변의 예시] 2. 수 업 의 목 표 설 명 기하는 2차원과 3차원 공간적 관계의 기술과 추론에 대한 학문이다. 학생들은 기하 영역에서 도형과 공간의 구조에 대해서 학습하고, 도형의 특징과 공간적 관계를 분석하는 방법을 학습할 수 있다. 학생들은 기하 모델과 공간 추론을 활용하여 물리적 환경을 포함한 여러 가지 현상을 해석하고 기술할 수 있으며, 이는 문제 해결에 중요한 도구가 된다. 또한 기하 개념은 수학의 다른 영역과 실세계 상황의 문제를 표현하고 해석하는데 유용하다. 학생들은 구체적인 모델, 그 림, 우리 주변에서 볼 수 있는 특별한 건물에 사용된 수학적 원리를 찾는 활동에 능동적으로 참여할 수 있다. 평면이나 공간에서 기하에 관한 기본적인 성질의 이해는 자연, 예술, 건축, 그 래픽, 공간 탐험, 지도 읽기 등 실생활 상황의 문제를 해결하는 데 기초가 되며, 도형의 성질에 대한 증명은 고대 그리스 이래로 연역적 추론의 전형으로 인식되어 왔다. 기하 문제는 해결 방 법이 다양하기 때문에 문제 해결 능력과 수학적 창의성을 신장시킬 수 있는 좋은 소개이다. 일반적으로 중등 과정에서 다루는 수학의 내용 중에서 학생들이 어렵게 생각하는 부분 중의 하나로 기하(도형) 영역과 관계된 문제를 들 수 있다. 이러한 문제들은 수학적인 이론으로도 중 요하지만 우리 실생활에도 중요한 문제이다. 그런데 우리가 실생활에서 직면하는 기하 영역과 - 4 - ※ 이 교재의 내용에 대한 무단 복제 및 전재를 금하며, 인천대학교 과학영재교육원의 허락 없이는 어떠한 방식으로든 2차적 저작물을 출판하거나 유 포할 수 없습니다. ※ 이 교재는 2020년도 정부(과학기술정보통신부/과학기술진흥기금/복권기금)의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 작성된 성과물입니다. 관계된 문제들은 이론 시간에 공부한 내용들과는 많은 차이가 있다. 따라서 단순히 공식을 외 우고 빨리 계산하는 능력만으로는 문제를 해결할 수 없다. 이러한 문제 해결 능력을 키우기 위 해서는 수학적인 지식은 물론 기하 영역을 단순히 이론으로서 뿐만 아니라 실생활에서도 자주 접하는 습관을 가져야 한다. 이에 따라서 본 교재에서는 자연 현상이나 실생활의 상황을 통해 평면과 공간 및 기하의 개념을 이해하고 탐구하며, 이를 활용하여 다양한 문제를 해결하는데 도움을 주고자 한다. 3. 기 초 학 습 3-1. 성냥개비를 이용한 도형 문제 성냥개비나 일정한 크기의 얇은 나무토막을 이용하여 도형을 만들어보면서 문제를 해결해보자. 답을 찾는 방법이 하나가 아니라 여러 가지인 경우가 많으니 답을 구한 후 서로 답을 비교하 도록 한다. 예제 1. 아래의 첫 번째 집을 나머지 다른 집으로 바꿀 때 움직여야 하는 성냥개비는 각각 몇 개일까? 가장 적은 숫자를 구해보아라. 풀이. 예제 2. 아래 각각의 성냥개비 배열에서, 버리지는 말고 성냥개비를 네 개만 움직여서, 세 개의 - 5 - ※ 이 교재의 내용에 대한 무단 복제 및 전재를 금하며, 인천대학교 과학영재교육원의 허락 없이는 어떠한 방식으로든 2차적 저작물을 출판하거나 유 포할 수 없습니다. ※ 이 교재는 2020년도 정부(과학기술정보통신부/과학기술진흥기금/복권기금)의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 작성된 성과물입니다. 4. 심 화 학 습 4-1 다양한 프렉탈 도형 (a) 코흐 곡선(Koch curve) (또는 코흐 눈송이) : 스웨덴의 수학자 코흐(Helge von Koch)에 의해 고안된 이 프랙탈은 그의 이름을 따서 ‘코흐 곡선’ 또는 ‘코흐 눈송이(Koch snowflake)’라고 한다. 이 프랙탈은 처음에 정삼각형으로부터 시 작된다. 각 단계마다 정삼각형의 세 변을 각각 삼등분한 후 가운데의 선분을 한 변으로 하는 정삼각형의 나머지 두변을 그려주고 가운데 선분은 제거합니다. 이 과정을 무한히 반복하면 코 흐 눈송이가 된다. 1) 코흐 눈송이의 분석 - 코흐 눈송이의 둘레의 길이를 구해보자. [단계 1]은 한 변의 길이가 인 정삼각형에서 시작하자.  첫 번째 단계에서는 세 변에서 각각  만큼의 길이가 늘      어났다. 그러므로 도형의 둘레는    × 가 되었다. [단계1]     × × 가 된다. 이제 도형의 둘레는    ×     [단계2] [단계 2]에서는 인 선분이  ×개 늘어났다. 길이가    [단계 3]에서는    인 선분이  × × 개 늘어난 길이가   다. 이제 도형의 둘레는         ×   × ×   × × × 가 된다.     [단계3] - 이렇게 규칙적으로 무한히 계속 늘어난다면 도형의 둘레는 무한합으로 나타낼 수 있다.        ×   × ×   × × ×   × × × × ⋯                    ⋯        - 26 -