STEM+I 생각교실 운영 사업 교육 프로그램 2022 세상의 변화를 설명하는 그래프 인천대학교 과학영재교육원 2022년 STEM+I 생각교실 운영 사업 교육 프로그램 프로그램 개요 기관명 구분 인천대 과학영재교육원 프로그램명 세상의 변화를 설명하는 그래프 주요 과목 수학 주요 단원 관련 과목 정보 관련 단원 M, S, E 적용 지역 STEM+I 요소 신규 (신규/수정보 완) 주요 적용 학년 개발차시 중학교 1학년 4 수학 (여러 가지 그래프) 정보 (문제해결과 프로그래밍/프로그래밍, 알고리즘) 보조 주 개발자명 개발자 그래프는 수학에서 다루는 중요한 주제 중 하나이다. 하지만 초등하교 과정과 중하교 과정에서 다루는 그래프는 대부분 1차 함수 또는 2차 함수와 같이 함수를 보조적으로 설명하는 것으로 도입되어 일상생활에서 주요 수업 개요 어떻게 중요하게 사용되는지를 알기 어렵다. 본 프로그램은 수학적 함수를 설명하는데 그래프가 필요한 것이 아니라 생활 속에서 다양한 변화가 발생을 할 때 이 현상을 함수 없이도 그래프로 섦영이 가능함을 경험하게하여 새로운 면이 있음을 알게 하고자 한다. 1차시: 사람들은 변화하는 현상을 그래프로 설명한다! 실제 생활 속의 자료의 경향을 알기 위해 막대그래프, 원그래프 등을 사 용할 수 있음을 확인하고, 그래프로 알 수 있는 것에 대하여 학습한다. 2차시: 일정한 속도로 물을 부으면 높이는 어떻게 될까? 식으로 나타내기 어려운 실제 상황에서의 변화를 그래프로 적절하게 나타 내는 방법을 학습한다. 이때, 학생들의 이해를 높이기 위하여 다양한 형 차시별 주요내용 (키워드 위주) 태의 병에 물을 넣었을 때의 변화를 예상하도록 지도한다. 3차시: 복잡한 현상도 그래프로 설명할 수 있다! 앞 차시보다 훨씬 복잡한 현상도 그래프로 나타낼 수 있음을 확인하게 하 여 수학에 대한 이해도를 높인다. 학생들은 번지 점프, 진자 운동과 같은 새롭게 관찰하는 현상을 그래프로 나타내는 방법을 학습한다 4차시: 실험수학 : 그래프로 증명하기 실제로 일어나지 않을 것 같은 현상을 간단히 실험을 통해서 반드시 일어 난다는 것을 증명하도록 한다. 이 과정을 통해 학생들에게 수학에 대한 흥미를 높이고 자신감을 갖도록 한다. 1. 주 의 집 중 을 위 한 도 입 (1) 다양한 그래프 알아보기 우리는 다양한 자료의 분석이나 경향을 알기 위하여 여러 가지 그래프를 사용한다. 그 중 우리가 수학 수업에서 쉽게 만날 수 있는 그래프가 막대그래프와 원그래프이다. 가. 막대그래프 주어진 자료를 유한개의 영역으로 나누어 직사각형을 사용하여 시각적으로 나타낸 것이 막대그래프이다. 예를 들어, 어느 중학교 50명 학생들의 혈액형을 조사한 결과 A형이 10 명, B형이 15명, AB형이 5명, O형이 20명이었다면 이를 막대그래프로 나타내면 다음과 같다. [지도 의견] 그래프를 보는 것과 자료를 숫자로 보는 것의 차이가 있는가를 묻고, 그래프로 보는 것이 한 눈에 전체적인 것을 파악하는데 더 좋지 않은가를 질문한다. [수업 자료 1]의 막대그래프를 보여주어서 막대그래프도 실제로 활용되고 있음을 설명해 도 좋다. 나. 원그래프 전체 자료에 대한 부분의 비율을 원 내부에 있는 부채꼴을 이용하여 나타낸 것이 원그래 프이다. 예를 들어, 어느 중학교 30명의 학생들에게 좋아하는 과일을 조사한 결과 수박을 좋아하는 학생이 8명, 참외를 좋아하는 학생이 3명, 복숭아를 좋아하는 학생이 7명, 딸기 를 좋아하는 학생이 6명, 배를 좋아하는 학생이 6명이었다면 이를 원그래프로 나타내면 다음과 같다. 5. 내 용 5 .1 일 반 적 탐 색 활 동 우리가 주변에서 만나게 되는 자료가 연도별 출생아 수나 인터넷 사용자의 수와 같이 유 한개의 자료로 설명될 수 있을까? [예제 3] 우리는 매일 휴대폰을 사용하고 충전한다. 휴대폰을 켜 놓으면 사용을 하지 않아도 휴대 폰 배터리는 사용되며 휴대폰으로 영화를 보거나 게임을 한다면 휴대폰 배터리는 급속하 게 소모된다. 휴대폰에서 <설정>-<배터리>를 검색해 보면 다음 그래프와 유사한 그래프 를 볼 수 있고, 그래프를 통해 지난 몇 시간 동안 휴대폰을 어떻게 사용하였는지를 유추 해 볼 수 있고 재충전 없이 언제까지 사용할 수 있는지도 예측할 수 있다. [예제 2]와 [예제 3]의 그래프의 차이는 무엇일까? 휴대폰의 배터리 소모량의 경우 관련 된 자료의 개수는 거의 무한개이다. 자료의 개수가 무한개이면 이를 표로 나타내는 것은 불가능하고 오직 그래프를 이용하여 자료의 경향을 설명할 수 있다! 일정한 속도로 물을 부으면 높이는 어떻게 될까? 이제 우리가 예상할 수 있는 현상을 그래프로 나타내 보자. 어떤 그래프가 적절한지를 판 정하는 것은 자료를 활용하는 것이 아닌 ‘논리적 사고’를 이용하여 결정한다! 우선, 일정하게 변하는 현상을 설명할 때는 일차함수에서와 같이 직선을 사용하여 설명하 지만 그렇지 않을 때는 다음과 같은 곡선을 사용한다. 5 .2 심 화 활 동 물의 높이 변화와 다른 변화도 우리는 그래프로 설명할 수 있다. [질문 13] 다음 사진은 관광지에서 볼 수 있는 ‘관람차’이다. 시간에 따라서 지상에서부터 관람차까 지의 높이를 그래프로 설명하면 어떻게 될까? [풀이] 이전의 그래프와 달리 시간에 따른 높이가 주기성을 갖고 있게 되므로 학생들의 그래프 가 주기함수인가를 확인한다. 선행지식을 전달하지 않기 위하여 ‘주기’의 표현은 사용하지 않는다. [질문 14] 다음 그림은 번지점프를 하는 모습을 보여준다. 번지점프를 하였을 때, 시간이 지남에 따 라 지상에서부터 번지점프를 한 사람까지의 높이를 그래프로 설명하면 어떻게 될까? 5 .3 실 험 활 동 앞에서 우리는 예측 가능한 현상을 그래프로 나타내는 방법을 배웠다. 그런데 우리 주변 에는 어떤 상황이 일어날지 예측하기 어려운 경우도 많이 있다. 만일 월요일 아침 10시에 학교에서 버스로 출발하여 수학여행지에 오후 3시에 도착하였 고, 수요일 아침 10시에 수학여행지에서 출발하여 갈 때와 같은 경로로 버스를 타고 이 동하여 오후 3시에 학교에 도착하였다고 하자. 버스는 갈 때와 올 때 어떤 속도로 운행 을 하였을까? 위의 내용을 보면 버스가 ‘일정한 속력’으로 이동을 하였다던가 아니면 점점 속력을 높이 는 등의 어떤 정보도 없기 때문에 운전기사의 판단, 도로의 상황에 따라서 어떤 구간에서 는 조금 빠르게, 또 다른 어떤 구간에서는 조금 느리게 운행이 되었을 것으로 추측된다. 그런데 우리가 그래프를 사용하면 갈 때와 올 때의 버스 속력과 상관없이 갈 때와 올 때 같은 시간에 정확히 같은 지점을 지났다는 것을 “증명”할 수 있다. 갈 때와 올 때의 버스 의 속력을 정확히 알 수 없으며 갈 때와 올 때 버스의 운행 속도는 일정하지 않을 수 있 고, 가속과 감속이 수시로 있을 수도 있는데 결과를 받아들일 수 있을까? 이를 실험을 통해서 얻은 자료를 그래프로 나타내서 증명하는 방법을 알아보자. [실험을 위한 준비] ① A4 용지를 여러 장 붙여서 길이가 1m가 넘도록 한다(2장). ② 자를 이용하여 매직펜으로 1m의 선분을 그린다. ③ 한 장의 종이에 선분의 왼쪽 끝에 A, 오른쪽 끝에 B를 쓰고, 선분을 10cm마다 표시한 다. ④ 다른 한 장의 종이에 선분의 왼쪽 끝에 B, 오른쪽 끝에 A를 쓰고, 선분을 10cm마다 표시한다.