무한은 무한히 커질까 인천대학교 과학영재교육원 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 1 프로그램 개요 학교급 무한은 무한히 커질까 중학교 1학년 1. 프로그램 소개 독일의 수학자 칸토어(Cantor , 1845 – 1918)는 무한의 성질을 다루고 이해하기 위해 집합론과 수리논리를 체계화 하였으며, 이후 집합론은 수학의 기초를 이루는 중요한 문야가 되었다. 이번 수업에서는 집합의 성질을 배우고 우리가 익숙한 수의 체계를 보 며 무한집합과 무한의 이해를 넓히는 시간을 가져보려 한다. 2. 프로그램 개요 구분(단계) 중등 심화(사사) 관련 2022 개정 교육과정에 맞추어 교육과정 중1 수학 프로그램 목표 분야 영역 수학 개발 차시 4차시 집합, 수의 체계, 방정식 수학의 기본 개념인 집합과 이항연산에 대해 배우고, 이를 통해 자연수, 정수, 유리수 등 다양한 무한집합의 성질과 활용에 대해 알아본다 3. 프로그램 차시별 내용 차시 1 2 3 4 주요 활동/내용 준비물 • 집합의 기초 개념, 유한집합과 무한집합에 대해 배워본다 • 합집합, 교집합, 일대일대응 등의 개념을 통해 유한집합과 무한집합의 크기를 비교하는 법을 배워본다. • 이항연산과 방정식의 기본 개념을 통해 수의 체계가 어떻게 확장되고 발전되어졌는지 함께 알아본다. • 집합과 이항연산의 개념이 현대 수학과 실제 생활에 어떻게 쓰이는지 함께 논의해본다 3 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 2 관련 교과 학습 목표 핵심 역량 차시별 교수· 학습 지도안 중1 수학 집합, 수의 체계, 영역 방정식 수업 차시 4 집합과 이항연산의 기본 개념과 역사를 배우고 무한집합과 수의 체계에 대해 알아본다. □ 창의적 문제해결 능력 □ 자연현상의 기술공학적 적용 □ 고등 수학적 추론 능력 □ 학문적 개념의 통합적 활용 □ 융합 및 응용 능력 □ 과학적 개념의 실생활 응용 □ 수학적 의사소통 및 협업 능력 □ 학습활동을 통한 첨단과학기술의 이해 □ 정보처리 및 도구 활용 능력 □ 기타( ) □ 수학적 태도와 실천 의지력 □ 기타( 주요 교수 방법 수업단계 ) □ 설명식 교수 □ 토의·토론 학습 □ 협력 학습 □ 탐구 학습 □ 프로젝트 학습 □ 모델링 □ 놀이 및 게임 학습 □ 기타( ) 교수⋅학습 활동 집합과 이항연산이란 단어는 일견 어렵게 보일 수도 있지 만, 자연수와 사칙연산처럼 일상에서도 어디서나 쓰이는 도입 (1차시) 학생들에게 이미 익숙한 대상이다. 이 개념들은 수학의 모 든 분야에 걸쳐 쓰이는 가장 기초가 되는 개념들이며, 특 히 무한집합을 이해하기 위한 인류의 노력은 수학의 발전 과 함께 해왔다. 본 수업에서는 집합과 이항연산의 개념을 이해하고 다양한 성질과 활용에 대하여 공부한다. 먼저 집합에 대한 기초적인 개념과 성질을 통해 집합을 이해하고 유한집합과 무한집합을 공부해본다. 특히 무한집합의 크기를 비교 하는 방법을 직접 탐구하고 배워보며 크기가 같은 무한집합과 다 전개 (2~3차시) 른 무한집합을 구분하는 법을 알아본다. 가령 가장 대표적인 예시 인 자연수 집합과 짝수집합의 크기가 왜 같은지, 유리수 집합과 실수 집합의 크기가 왜 다른지 배워본다. 나아가 이항연산의 개념 을 배워 학생들이 가장 친숙하게 느낄 무한집합인 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수 등의 수의 체계의 확장이 사칙연산과 방정식 을 통해 어떻게 자연스럽게 이뤄졌는지 집합과 이항연산의 관점 4 수업자료 및 유의점 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 을 통해 알아본다. 앞 차시들에서 보았듯 무한 집합은 무한을 다루고 이해하기 위해 수학자들이 발전시킨 개념으로, 무한한 수들로 이루어진 수의 체 계는 수학의 근본적인 구조이자 이 세상을 이루는 근간이기도 하 다. 또한 이 외에도 무한을 이해하고 다루는 것은 수학 뿐 아니라 정리 및 평가 일상에서도 중요한 개념이며 미적분 같은 활용에도 쓰이고, 연속 (4차시) 체 가설 등 현대 수학의 논리 구조에도 큰 영향을 끼쳤다. 집합과 이항연산의 개념을 복습하고 다양한 응용과 활용을 알아보며 수 업을 마무리한다. 5 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 3 평가 계획 및 기준안 프로그램 무한은 무한히 커질까? 명 관련 교과 학습 목표 평가 내용 평가 방법 평가 기준표 6 중1 수학 영역 집합, 수의 체계, 해당 방정식 수업 차시 4 집합과 이항연산의 기본 개념과 역사를 배우고 무한집합과 수의 체계에 대해 알아본 다. 집합과 이항연산의 기본 개념과 성질, 유한집합과 무한집합을 구분하고 무한집합의 크 기에 대한 이해, 이항연산과 방정식을 통한 수의 체계의 확장과 활용 관찰평가 및 시험 학기말 시험을 통한 평가 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 5 교수· 학습 자료 프로그램 명 : 무한은 무한히 커질까? 집합, 체계, 방정식집합, 체계, 방정식 영역/단원 차시 4차시 • 집합의 개념과 성질을 이해한다. 학습주제 • 수의 체계에 대해 공부한다. • 유한집합과 무한집합을 공부하고 서로 다른 집합의 크기를 비교해본다. • 무한집합을 이해하고 무한의 성질에 대해 공부한다. ▢ 교재 소개 독일의 수학자 칸토어(Cantor , 1845 – 1918)는 무한의 성질을 다루고 이해하기 위 해 집합론과 수리논리를 체계화 하였으며, 이후 집합론은 수학의 기초를 이루는 중 요한 문야가 되었다. 이번 수업에서는 집합의 성질을 배우고 우리가 익숙한 수의 체 계를 보며 무한집합과 무한의 이해를 넓히는 시간을 가져보려 한다. 지도 방향 먼저 학습지에 질문을 제시하고 집합과 수, 그리고 함수와 관련된 기초 지식을 익힐 수 있도록 한다. 그 뒤 학생들이 배운 기본 지식을 활용해 일대일 대응으로 집합과 집합의 크기를 비교하는 개념을 설 명하고 다양한 수의 집합들의 크기를 비교해보도록 한다. 이를 통해 무한집합의 개념을 이해하고 다 양한 크기의 무한집합을 비교할 수 있도록 한다. 수업 TIP • 집합과 함수의 기본 개념을 처음 접할 경우 낯설거나 어려울 수 있으니 다양한 예시들을 통해 개념 을 확실히 이해할 수 있도록 해주면 좋다. 또한 “일대일 대응을 통해 두 집합의 크기를 비교한다”라 는 개념이 확실히 이해될 수 있도록 충분히 생각할 할 시간이나 토론 등을 제공하길 권장한다. 자연 수와 짝수집합의 크기 비교, 힐베르트 호텔 같은 예시를 통해 학생들의 흥미유발을 이끌어 내면 이 해가 더욱 쉬워질 수 있다. 22 2024 인천대학교 과학영재교육원 프로그램 ▢ 교재 개요 차시 학습과정 (기초/심화/정리) 내용 1차시 기초학습 집합의 기본 성질과 수의 체계에 대해 알아본다 2~3차시 기초학습/심화활 전단사 함수와 일대일 대응을 배우고 무한집합의 크기비교를 4차시 ▢ ▢ 동 정리 및 고찰 알아본다 수업에서 배운걸 종합하여 다양한 무한집합들의 크기에 대해 생각해본다. 관련 분야 및 내용 교과 분야 내용 STEM요소 집합과 논리 집합의 개념, 성질과 활용, 유한과 무한의 개념과 성질 M 대수학 수의 체계 M 함수 일대일 대응을 통한 집합의 크기 비교, M 주의 집중을 위한 도입 자연수란 무엇일까? 우리가 흔히 1, 2, 3,... 같이 세는 수들을 우리는 자연수 라고 부른 다. 그리고 그 중 2, 4, 6,... 같이 2로 나누어 지는 수를 짝수, 1, 3, 5,... 같이 2로 나누 어지지 않는 수를 홀수 라고 부른다. 그렇다면 과연 자연수와 짝수 중 어떤 수가 더 많을까? 당연히 대부분의 사람들은 자 연수가 짝수보다 많다고 할 것이다. 모든 짝수는 자연수에 포함되지만 앞 서 보았듯 홀 수는 짝수가 아니기 때문이다. 그렇지만 수학이 때로는 직관을 배신하는 경우가 있듯, 놀랍게도 자연수 전체의 집합 의 크기과 짝수, 혹은 홀수 전체의 집합의 크기는 같다. 분명 짝수집합은 자연수집합의 부분집합인데 어떻게 두 집합의 크기가 같을 수 있을까? 그건 바로 두 집합이 모두 무 한집합, 원소가 무한히 많은 집합이기 때문이다. 그렇다면 모든 무한집합의 크기는 같을까? 놀랍게도 이 역시 생각과 달리 모든 무한집 합의 크기가 같지 않다. 무한 중에서도 ‘더 큰’ 무한이 존재하는 셈이다. 수업을 통해 보게 되겠지만 자연수 집합의 크기과 실수 집합의 크기는 다르다. 즉 자연수의 개수보 23