수학의 눈으로 보는 세상 : 수학적 모델링 역량 기르기 서울대학교과학영재교육원 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 1 프로그램 개요 학교급 수학의 눈으로 보는 세상 중학교2~3학년 : 수학적 모델링 역량 기르기 1. 프로그램 소개 수학은 왜 유용하다고 말할까요? 우리의 일상생활 및 현실 세계에서 벌어지는 현상을 수학자의 시선으로 바꾸어 보면 어떻게 보일까요? ‘수학적 모델링’이라면 앞서 질문한 두 가지에 관한 해답 을 찾을 수 있습니다. 수학적 모델링에서는 먼저 일상생활의 문제를 수학의 세계로 가져옵니다. 수학의 세계로 가져 온 문제를 해결하기 위해 다양한 가정을 세우고 가정에 따라 변수를 설정합니다. 친구들과의 토의 를 바탕으로 식, 그래프 등을 활용하여 모델을 만들고 문제를 해결합니다. 만든 모델이 실생활의 문제를 해결하기에 알맞은지 생각하며 다시 모델을 개선하는 과정을 거칩니다. 이 과정에서 현실 세계를 수학적으로 바라보는 수학적 모델링은 현실 세계의 문제를 해결할 수 있는 강력한 도구임 을 알게 되며 수학의 유용성을 느끼게 될 것입니다. 2. 프로그램 개요 구분(단계) 관련 교육과정 프로그램 목표 수학 심화(사사) 분야 수학 개발 차시 3차시 중학교 일차함수, 산점도, 평균 영역 변화와 관계, 자료와 가능성 수학적 모델링 뜻과 절차를 이해한 후, 실생활 문제를 바탕으로 수학적 모델링 과정을 실행 하고 반성할 수 있다. 3. 프로그램 차시별 내용 차시 1 2~3 주요 활동/내용 수학적 모델링의 뜻을 알고 수학적 모델링을 위한 절차를 만들고 합의한다. 준비물 태블릿 또 는노트북 실생활 문제를 바탕으로 수학적 모델링 활동을 통해 모델을 만든 후 토의를 태블릿 또 거쳐 모델을 개선한다. 는노트북 3 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 2 관련 교과 학습 목표 차시별 교수·학습 지도안 중학교 수학 영역 1 / 3 (해당/전체) 수학적 모델링의 뜻을 알고 수학적 모델링을 위한 절차를 만들고 합의한다. 창의적 문제해결 능력 핵심 역량 수업 차시 변화와 관계 □ 자연현상의 기술공학적 적용 □ 고등 수학적 추론 능력 □ 학문적 개념의 통합적 활용 □ 융합 및 응용 능력 □ 과학적 개념의 실생활 응용 수학적 의사소통 및 협업 능력 □ 정보처리 및 도구 활용 능력 □ 학습활동을 통한 첨단과학기술의 이해 □ 기타( ) 수학적 태도와 실천 의지력 □ 기타( ) □ 설명식 교수 주요 교수 협력 학습 방법 □ 프로젝트 학습 토의·토론 학습 탐구 학습 모델링 □ 놀이 및 게임 학습 수업단계 도입 (5분) □ 기타( ) 교수⋅학습 활동 - 일차함수, 산점도 등 수학 선수지식을 갖출 수 있도록 지도한다. - ‘상생의 손’ 과제를 보고 문제를 이해한 후, 해결하기 위한 전체적인 절차 를 생각하고 기록할 수 있도록 지도한다. ◎ 모델링 이해하기 활동(개별) (35분) 학생활동지 ※모델링에 대한 선수경 험이 있는 - 생각한 절차를 바탕으로 모델링 문제를 해결하기 위한 세부 단계를 만들 학생의 경우 어보고 각 단계에서는 어떠한 활동을 하는 것이 적절할지 생각하여 기록 에는 1차시 하도록 지도한다. 를 ◎ 모델링 사이클 만들기(모둠) 량을 - 각자가 만든 모델링 사이클을 토대로 토의를 거쳐 하나의 합의된 모둠의 되, ◎ 수학적 모델링 및 모델링 사이클 설명(전체) 줄이고 2~3차시 분 - 만든 모둠 내에서 각자가 만든 모델링 사이클을 발표하도록 지도한다. 모델링 사이클을 만들도록 지도한다. 4 유의점 ◎ 프로그램 도입을 위한 수학 선수지식 진단 ◎ 모델링 과제의 제시(개별) 전개 수업자료 및 늘리 모델의 검증과 개선 에 시간을 - 각 모둠에서 만든 모델링 사이클을 발표하도록 지도한다. 좀 더 할애 - 친구들의 피드백 반영하여 전체가 공유할 수 있는 모델링 사이클로 개선 할수 있음. 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 모델링 사이 클은 단계적 한다. - 교사의 피드백을 통해 최종 모델링 사이클을 완성하도록 지도한다. 으로 또는 순환적으로 일어날 수 있음을 지도 한다. 정리 및 평가 (5분) ◎ 학습 내용 정리 - 수업 내용을 정리하고 학습지에 기록할 수 있도록 지도한다. ◎ 다음 차시 예고 5 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 관련 교과 학습 목표 중학교 수학 영역 2~3 / 3 (해당/전체) 수학적 모델링의 뜻을 알고 수학적 모델링을 위한 절차를 만들고 합의한다. 창의적 문제해결 능력 핵심 역량 수업 차시 변화와 관계 □ 자연현상의 기술공학적 적용 □ 고등 수학적 추론 능력 □ 학문적 개념의 통합적 활용 융합 및 응용 능력 □ 과학적 개념의 실생활 응용 수학적 의사소통 및 협업 능력 □ 학습활동을 통한 첨단과학기술의 이해 정보처리 및 도구 활용 능력 □ 기타( ) 수학적 태도와 실천 의지력 □ 기타( ) □ 설명식 교수 주요 교수 방법 토의·토론 학습 협력 학습 탐구 학습 프로젝트 학습 모델링 □ 놀이 및 게임 학습 수업단계 □ 기타( ) 교수⋅학습 활동 도입 ◎ 지난 시간 배운 내용 정리 (5분) - 지난 시간에 완성한 모델링 사이클을 떠올릴 수 있도록 지도한다. ◎ 개별 모델링 활동하기 수업자료 및 유의점 - ‘상생의 손’ 문제를 이해하고 개별적으로 모델을 만들고 모델에 따라 문 제를 해결하도록 지도한다. ◎ 모둠 모델링 활동하기 - 모둠 내에서 각자 어떻게 모델을 만들고 모델에 따라 문제를 해결했는지 발표하도록 지도한다. 패들렛 - 각자 모델링 의견을 토대로 토의를 거쳐 하나의 합의된 모둠의 모델을 만들고 해결하도록 지도한다. 전개 (80분) - 합의된 모둠 모델 및 모델에 따른 문제해결 결과를 다른 모둠 학생들에 게 발표하기 위한 자료를 제작하도록 지도한다. - 만든 자료를 바탕으로 모둠별로 만든 모델 및 모델에 따른 문제 해결을 소개하도록 지도한다. ◎ 모델링 개선 탐색 및 반성 - 발표 과정에서의 교사 및 서로의 피드백, 다른 모둠의 장점 등을 바탕으 로 모델을 개선하고 어떤 부분을 반영하여 어떻게 개선되었는지 개선된 점을 발표하도록 지도한다. - 모델 및 모델링 문제해결 과정을 다시 떠올려 보며 좋은 모델이란 무엇 인지에 대해 생각해볼 수 있도록 지도한다. 정리 및 평가 (5분) 6 ◎ 학습 내용 정리 - 수업 내용을 정리하고 학습지에 기록할 수 있도록 지도한다. canva, miricanvas 등을 활용 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 3 평가 계획 및 기준안 프로그램명 관련 교과 학습 목표 수학의 눈으로 보는 세상: 수학적 모델링 역량 기르기 중학교 수학 영역 변화와 관계, 수업 차시 (해당/전체) 자료와 가능성 1~3 / 3 수학적 모델링의 뜻을 알고 수학적 모델링을 위한 절차를 만들고 합의한다. 평가 내용 ‘상생의 손’ 문제를 수학적 모델링 사이클에 따라 해결할 수 있는가? 평가 방법 동료평가, 자기평가, 관찰평가 성취 이상적인 만족스러운 개선이필요함 미완성 항목 (3점) (2점) (1점) (0점) (가중치) 주어진 자료 또 평가기준표 주어진 자료 또 는 추가 자료를 는 추가 자료를 이용하여 동상 모델링 이용하여 동상 의 키를 어떤 문제 정의 의 키를 어떤 관계로 찾을 수 (1) 관계로 찾을 수 있는지를 서술 있는지 충분히 하였으나 설명 설명함 과 근거가 부족 함. 동상의 키를 정 모델 구축: 동상의 키를 구 의하기 위한 가 가정을 하기 위해 필요 정을 서술하고 세우고 한 가정을 서술 정당화하였으 한계를 하고 정당화함. 나 가정이 타당 인식하기 서술한 가정이 하지 않거나 이 (1.5) 타당함. 유를 명확히 설 주어진 자료 또 는 추가 자료를 이용하여 동상 의 키를 어떤 목표가 없고 모 관계로 찾을 수 델이불분명함. 있는지를 서술 하였으나 근거 가 없음 가정을 서술하 가정을 서술하 였으나 근거가 였으나 근거가 부정확함. 없음. 명하지 못함. 7 2024서울대학교 과학영재교육원 프로그램 동상의 키를 구 모델구축: 하기 위해 필요 변수 한 자료와 관계 정의 및 를 찾고 모델에 매 개 변 수 적용할 변수를 식별 선별하고 그 이 (1.5) 유를 명확히 설 명함. 모델에 사용된 수학 개념이 타 솔루션: 당하고 그 이유 유 의 미 한 를 명확히 설명 수학을 함. 사 용 하 는 모델을 이용한 모델 결론이 현실 맥 (2) 락에서 유의미 한 값인지 검토 솔루션: 같은 반 친 구들에게 결과를 설명 (1) 함. 모델링 결과를 설명하는 자료 가 가독성이 높 고 이해하기 쉽 도록 명료하게 설명함. 모델의 가정이 적절한지 검토 하고 다른 친구 분석 들의 모델을 본 및 이후 본인 모델 모델 평가 의 개선점 등을 (1) 탐색함. 모델을 일반화 하려는 방안을 탐색함. 8 동상의 키를 구 하기 위해 필요 동상의 키를 구 한 자료와 관계 하기 위해 필요 를 찾고 변수를 한 자료와 관계 선별하였으나 를 찾았으나 근 충분한 설명이 거가 없음 동상의 키를 구 하기 위해 필요 한 자료와 관계 를 찾지 못함. 부족함 모델에 사용된 수학 개념이 타 당하고 그 이유 를 설명하였으 나 모델을 이용 한 결론이 현실 맥락에서 유의 모델을 수립하 였으나 수학 개 념을 정당화하 지 못함. 모델이 제시되 지 않거나 심각 한오류가 있음 미한 값인지 검 토하지 않음. 모델의 결과는 제시하였으나 정당성이 부족 하고 설명이 부 정확함 모델의 결과를 제시하였으나 모델의 결과를 단위 등의 오류 제시하지못함 로설명이 틀림 모델의 가정이 모델의 가정이 적절한지 검토 적절한지 검토 하고 다른 친구 하고 다른 친구 들의 모델을 본 들의 모델을 본 이후 본인 모델 이후 본인 모델 의 개선점을 명 의 한계점을 명 시함. 시함. 모델을 검토하 지 않음